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Passende Umformungen: Nullstellen und Fixpunkte

Die Wurzeln der Gleichung $3\cos x = \log x$ sind genau die Nullstellen der Funktion $f(x) = 3\cos x - \log x$. Ein Vergleich von Abbildung 1 mit Abbildung 2 stellt diesen Sachverhalt klar und zeigt zum Beispiel: In der Nähe von $x=5$ , jedenfalls im Bereich $4<x<6$ , muss eine der Nullstellen von $f$ liegen.

Welche Form der graphischen Darstellung man günstigerweise wählt, hängt von der gegebenen Gleichung ab. In diesem Beispiel lassen sich $\cos$ und $\log$ als bekannte Funktionen leicht skizzieren, deswegen ist die Darstellung der Lösung durch die ($x$-Werte der)Schnittpunkte zweier Kurven übersichtlich. Andererseits lässt die Darstellung von $f(x) = 3\cos x - \log x$ die Nullstellen unmittelbar erkennen. Die klassischen Methoden zum Finden von Nullstellen ab Kapitel 2.7 erfordern ohnedies eine solche Umformung der Gleichung.

Abbildung: Schaubild zur Funktion $f(x) = 3\cos x - \log x$. Die Nullstellen lassen sich direkt ablesen und entsprechen den $x$-Werten der Schnittpunkte in der Abbildung 1
\begin{figure}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
\begin{center}
\epsfbox{d:/le...
...ps/bild1_1a.EPS}\end{center}.
\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
\end{figure}

Die Gleichung $3\cos x = \log x$ lässt sich aber auch beispielsweise umformen zu

\begin{displaymath}
x = \arccos \frac{\log x}3 \quad.\end{displaymath} (5)

In dieser Form liegt eine Fixpunkt-Aufgabe $x=\phi(x)$ vor, mit $\phi(x)=\arccos ((\log x)/3)$.

Abbildung: Schaubild zur Fixpunktaufgabe mit der Funktion $\phi(x)=\arccos ((\log x)/3)$. Der Fixpunkt von $\phi$ entspricht der Nullstelle von $f$ in der Nähe von $1,4$. Weitere Fixpunkte von $\phi$ gibt es nicht. Durch die Umformulierung sind Lösungen der ursprünglichen Gleichung verlorengegangen!
\begin{figure}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
\begin{center}
\epsfbox{d:/le...
...x/eps/bild1_1b.EPS}\end{center}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
\end{figure}

Was passiert, wenn man auf der rechten Seite von Gleichung (5) einen Wert für $x$ einsetzt, den Ausdruck ausrechnet und das Ergebnis wieder in der rechten Seite einsetzt? Beginnend etwa mit $x=1$ liefert dieses Verfahren die Folge

\begin{displaymath}1;\quad 1,5708;\quad 1,41969;\quad 1,45372;\quad 1,44576;\quad 1,44761;\quad 1,44718\ldots\end{displaymath}

Die Folge konvergiert gegen $\xi=1,4472586$, das ist die kleinste Lösung der gegebenen Gleichung und gleichzeitig der einzige Fixpunkt der Funktion

\begin{displaymath}\phi(x)=\arccos \frac{\log x}3.\end{displaymath}

Sie sehen hier ein Beispiel einer Fixpunkt-Iteration.


\begin{displaymath}\rule{\textwidth}{0.3mm}\end{displaymath}

Fixpunkt-Iteration (salopp formuliert)
Gegeben eine Gleichung $x=\phi(x)$.
Beginne mit einem Startwert
Setze Wert auf rechter Seite der Formel ein
Setze das Ergebnis wieder und wieder rechts in die Formel ein, bis sich die Resultate nicht mehr ändern

\begin{displaymath}\rule{\textwidth}{0.3mm}\end{displaymath}

Weitere Beispiele von Fixpunkt-Iterationen:

Aber es funktioniert nicht immer: Eine andere mögliche Fixpunkt-Form von Gleichung (4) lautet

\begin{displaymath}x=\exp(3\cos x) \quad.\end{displaymath}

Wenn Sie hier $x=1$ rechts einsetzen und das für die Ergebnisse jeweils wiederholen, erhalten Sie die Folge

\begin{displaymath}1;\quad 5,05768;\quad 2,76046;\quad 0,0617455;\quad 19,971;\quad 3,6805\ldots\end{displaymath}

Ihre Werte wechseln unregelmäßig und konvergieren nicht.

Conclusio: Viele numerische Verfahren sind im Grunde Fixpunkt-Iterationen. Nicht jede Fixpunkt-Iteration konvergiert. Passende Umformungen sind nicht immer leicht zu finden. Das rechtfertigt eine ausführliche theoretische Untersuchung solcher Verfahren im Kapitel 2.12.


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brand 2005-02-23