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Illustrationen zu einem einfachen Anfangswertproblem


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Geometrische Interpretation

Eine Differentialgleichung gibt ein Richtungsfeld vor

\begin{displaymath}\rule{\textwidth}{0.3mm}\end{displaymath}

Gegeben sei die Differentialgleichung

\begin{displaymath}y'= x y /4 - 1 \;.\end{displaymath}

Sie ordnet jedem Punkt $(x,y)$ in der Ebene eine Steigung $y'$ zu. Fassen wir diese Steigungen als Richtungsvektoren (mit einheitlicher Länge) auf, dann erhalten wir ein Richtungsfeld, wie in Abbildung 9 dargestellt.

Abbildung: Die Differentialgleichung gibt ein Richtungsfeld vor. Drei Lösungen zu verschiedenen Anfangsbedingungen sind eingetragen
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...ex/eps/bild3_8.EPS}\end{center}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
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Eine Lösungskurve startet an einem Punkt $(x_0,y_0)$, der durch die Anfangsbedingung festgelegt ist, in der dort vorgegebenen Richtung. Im weiteren Verlauf folgt die Kurve immer den Richtungspfeilen. Sie orientiert sich also in jedem Punkt $(x,y)$, den sie erreicht, völlig opportunistisch an der dort herrschenden Richtung.

Ein Einschrittverfahren, wie beispielsweise das Eulersche Polygonzugverfahren, startet ebenfalls am Punkt $(x_0,y_0)$. Das Eulersche Polygonzugverfahren schlägt auch genau die in $(x_0,y_0)$ gegebene Richtung ein und steht eine Schrittweite $h$ lang stur zu dieser Entscheidung. Es gelangt damit an einen Punkt $(x_1,y_1)$. Dort erst überdenkt es seinen Weiterweg und orientiert sich neu, wieder genau nach der in $(x_1,y_1)$ herrschenden Richtung. Je kleiner die Schrittweite, also um so öfter sich das Verfahren den herrschenden Gegebenheiten anpasst, um so besser sollte es der exakten Lösungskurve folgen. Die Abbildung 10 illustriert diese Gedanken. Eine Präzisierung der Idee und eine Untersuchung der Fehler bringt das nächsten Kapitel.

Abbildung: Für die Differentialgleichung $y'= x y /4 - 1 $ mit Anfangsbedingung $y(0)=3$ sind die exakte Lösung sowie drei Näherungen nach dem Eulerschen Polygonzugverfahren mit Schrittweiten $h=1;\frac12;\frac14$ eingetragen
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\epsfbox{d:/le...
...ex/eps/bild3_9.EPS}\end{center}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
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Das Eulersche Polygonzugverfahren ist allerdings kurzsichtig, in dem Sinn, dass es als Fortschreitungsrichtung einfach die am Ausgangspunkt gegebene Richtung wählt. Das modifizierte Eulerverfahren versucht, vorausschauender zu agieren: es tastet sich zuerst eine halbe Schrittweite voran, erkundet die dort gegebene Richtung und wählt diese als Fortschreiterichtung. Siehe dazu Abbildung 11

Abbildung 11: Wahl der Fortschreitungsrichtung beim modifizierten Eulerverfahren
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...tex/eps/abb6_3.EPS}\end{center}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
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Ähnlich geht das Verfahren von Heun vor. Es macht versuchsweise einen Schritt in die selbe Richtung wie das gewöhnliche Polygonzugverfahren, erkundet am Zielpunkt die Richtung und wählt als endgültige Fortschreitungsrichtung den Mittelwert der Richtungen an Start- und (vorläufigem) Zielpunkt. Siehe dazu Abbildung 12

Abbildung: Wahl der Fortschreitungsrichtung beim Heun-Verfahren: Mittelweret aus Anfangsrichtung und Richtung am (genäherten) Endpunkt
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...tex/eps/abb6_2.EPS}\end{center}\rule{-10mm}{0mm}\rule{155mm}{0.2mm}
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Es gibt in dieser Art noch weitere Möglichkeiten, das einfache Eulersche Polygonzugverfahren zu verbessern. In der Literatur werden dafür nicht einheitliche Namen verwendet. Auch die folgende Methode geht auf Heun zurück und wird gelegentlich als Heunsches Verfahren bezeichnet:

\begin{displaymath}F(x,y,h)=\frac14(k_1 + 3 k_2)\end{displaymath}

mit

\begin{eqnarray*}
k_1&=&f(x,y) \\ k_2&=&f(x+\frac23h,y+\frac23hf(x,y))
\end{eqnarray*}



Das klassische Runge-Kutta-Verfahren treibt das Wechselspiel aus versuchsweisem Vortasten und Erkunden der Richtung zur Perfektion: es berechnet vier verschiedene Steigungen $k_1,\ldots,k_4$, eine am Ausgangspunkt, zwei in der Mitte und eine am Ziel, und wählt als Fortschreiterichtung ein gewogenes Mittel davon.

Allgemein bezeichnet man Methoden dieser Art als Runge-Kutta-Verfahren (deswegen oben der Zusatz ,,klassisch``). Moderne Runge-Kutta-Verfahren versuchen, mit möglichst geringem Rechenaufwand eine hohe Ordnung und gleichzeitig Abschätzungen über die Größe des Fehlers oder die optimale Schrittweite zu gewinnen.


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brand 2005-02-23